Номер 256 ГДЗ алгебра 8 клаcс Макарычев

№256. Докажите тождество
Дано:
$z$ - среднее гармоническое чисел $a$ и $b$, то есть:

$$
z=\frac{2 a b}{a+b}
$$


Необходимо доказать:

$$
\frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}
$$


Решение:
1. Выражаем $z-a$ и $z-b$ :

$$
z-a=\frac{2 a b}{a+b}-a=\frac{2 a b-a(a+b)}{a+b}=\frac{a(2 b-a-b)}{a+b}=\frac{a(b-a)}{a+b}
$$


Аналогично:

$$
z-b=\frac{b(a-b)}{a+b}
$$

2. Найдем суммы обратных значений:

$$
\frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b}=\frac{a+b}{a(b-a)}+\frac{a+b}{b(a-b)}
$$


Приводим к общему знаменателю:

$$
\frac{(a+b)(b-a)+(a+b)(a-b)}{a b(b-a)(a-b)}
$$


Так как числитель сокращается, остается:

$$
\frac{a+b}{a b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}
$$


Ответ: тождество доказано.