Номер 496 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

496. Сократите дроби:
a) $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}$

Дано:

$$
\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}
$$


Решение:
Заметим, что $a \sqrt{a}=(\sqrt{a})^3$ и $b \sqrt{b}=(\sqrt{b})^3$. Тогда выражение можно переписать как:

$$
\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a})^3+(\sqrt{b})^3}
$$


Используем формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)\left(x^2-x y+y^2\right)$, где $x=\sqrt{a}$ и $y=\sqrt{b}$ :

$$
\begin{aligned}
(\sqrt{a})^3+(\sqrt{b})^3 & =(\sqrt{a}+\sqrt{b})\left((\sqrt{a})^2-\sqrt{a} \sqrt{b}+(\sqrt{b})^2\right) \\
& =(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{a b}+b)
\end{aligned}
$$


Теперь сократим дробь:

$$
\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{a b}+b)}=\frac{1}{a-\sqrt{a b}+b}
$$


Таким образом, сокращенная форма дроби равна:

$$
\frac{1}{a-\sqrt{a b}+b}
$$

6) $\frac{a-\sqrt{3} a+3}{a \sqrt{a}+3 \sqrt{3}}$

Дано:

$$
\frac{a-\sqrt{3} a+3}{a \sqrt{a}+3 \sqrt{3}}
$$


Решение:
Вынесем общий множитель из числителя:

$$
a-\sqrt{3} a+3=a(1-\sqrt{3})+3
$$


Заметим, что знаменатель можно переписать как:

$$
a \sqrt{a}+3 \sqrt{3}=(\sqrt{a})^3+(\sqrt{3})^3
$$


Используем формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)\left(x^2-x y+y^2\right)$, где $x=\sqrt{a}$ и $y=\sqrt{3}$ :

$$
\begin{aligned}
(\sqrt{a})^3+(\sqrt{3})^3 & =(\sqrt{a}+\sqrt{3})\left((\sqrt{a})^2-\sqrt{a} \sqrt{3}+(\sqrt{3})^2\right) \\
= & (\sqrt{a}+\sqrt{3})(a-\sqrt{3 a}+3)
\end{aligned}
$$


Теперь сократим дробь:

$$
\frac{a-\sqrt{3} a+3}{(\sqrt{a}+\sqrt{3})(a-\sqrt{3 a}+3)}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{3}}
$$


Таким образом, сокращенная форма дроби равна:

$$
\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{3}}
$$