Геометрія 7 клас

Вправа 240

 

Умова:

Медіани АЕ i CF, проведені до бічних сторін ВС i AB рівнобедреного трикутника ABC, перетинаються в точці М. Доведіть, що трикутник АМС рівнобедрений.

 

Відповідь:

Доведения:
Нехай дано ∆АВС - рівнобедрений (АВ = ВС), АЕ - медіана,
CF - медіана, АЕ i CF перетинаються в точці М.
Доведемо, що ∆АМС - рівнобедрений.
Розглянемо ∆AFC i ∆СЕА.
1) ∟A = ∟C (∆АВС - рівнобедрений).
2) АС - спільна.
3) AF = 1/2АВ, CF - медіана. СЕ = 1/2ВС, АЕ - медіана.
АВ =ВС (∆АВС - рівнобедрений). AF = СЕ.
Отже, ∆AFC = ∆СЕА за I ознакою piвностi трикутників,
з цього випливає, що ∟EAC = ∟FCA.
Розглянемо ∆АМС.
Оскільки ∟MAC = ∟MCA, то ∆АМС - рівнобедрений.