Геометрія 7 клас

Вправа 448

 

Умова:

Пряма перетинає сторони АВ i ВС трикутника ABC у точках М і К відповідно. Вершини даноготрикутника рівновіддалені від прямої МК. Доведіть, що точки М i К є серединами сторін АВ i ВС відповідно.

 

Відповідь:

7L448v1

Дано:
∆АВС. АР ┴ МК; BE ┴ МК; СЕ ┴ МК. АР = BE = CF.
Довести: М - середина АВ, К - середина ВС.
Доведения:
За умовою вершини трикутника рівновіддалені від прямої МК, тобто
АР ┴ МК; BE ┴ МК; CF ┴ МК i АР = BE = CF.
Розглянемо ∆BEК i ∆CFK.
BE ┴ МК; ∟BEK = 90° i CF ┴ МК; ∟CFK = 90.
∟ВЕК = ∟CFK = 90°. BE = CF. ∟BKE = ∟CKF (вертикальні).
За ознакою piвностi прямокутника трикутників маємо: ∆ВЕК = ∆CFK.
Звідси ВК = КС, отже К - середина ВС.
Аналогічно ∆АРМ = ∆ВЕМ.
∟APM = ∟BEM = 90°; ∟AMP = ∟BME (вертикальні); АР = BE.
Звідси AM = MB. M — середина відр1зка АВ.
Доведено.