з геометрії 7 клас решебник

Вправа 520

 

Умова:

У колі iз центром О через середину радіуса проведено хорду АВ, перпендикулярну до нього. Доведіть, що ∟AOB = 120°.

 

Відповідь:

7L520v1

Нехай дано коло (О; R), ОС = R, т. М - середина ОС, АВ - хорда, АВ ┴ ОС.
Доведемо, що ∟AOB = 120°.

Розглянемо ∆АОС - рівнобедрений (АО = ОС = R).
Так як AM ┴ ОС, то AM - висота. Так як ОМ = МС (т. М - середина ОС), то AM - медіана.
Якщо в ∟АОС AM - медіана i висота, то ∆АОС - рівнобедрений з основою ОС, тоді АО = АС.
Так як АО = ОС, АО = АС, то АО = ОС = АС = R i ∆АОС - рівносторонній,
∟AOC = ∟OCA = ∟CAO = 60°.
Аналогічно можна довести, що ∟COB - рівносторонній,
∟BOC = ∟OCB = ∟CBO = 60°.
∟AOB = ∟AOC + ∟COB; ∟AOB = 60° + 60° = 120°.
Biдповідь: ∟AOB = 120°.