Номер 164 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

№164.

$$
\left(\frac{9}{n^2}+\frac{n}{3}\right) \cdot\left(\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right)
$$


Решение:
1. Приведем к общему знаменателю:

$$
\frac{9+n^3}{3 n^2}, \quad \frac{9-3 n+n^2}{3 n^2}
$$

2. Умножим дроби:

$$
\frac{\left(9+n^3\right)\left(9-3 n+n^2\right)}{9 n^4}
$$

3. Раскроем скобки:

$$
9 n^2-27 n+81+9 n^5-27 n^4+81 n^3+n^7-3 n^6+9 n^5
$$

4. Приведем подобные:

$$
n^7-3 n^6+18 n^5-27 n^4+81 n^3+9 n^2-27 n+81
$$

5. Разделим на $9 n^4$ :

$$
\frac{n^7-3 n^6+18 n^5-27 n^4+81 n^3+9 n^2-27 n+81}{9 n^4}=k, \quad k \in \mathbb{N}
$$


Выражение принимает натуральное значение для любого $n$.