Номер 393 ГДЗ алгебра 8 клаcс Макарычев

№393.
Попробуем представить каждое выражение в виде квадрата двучлена:

$$
\sqrt{a+b \sqrt{c}}=\sqrt{x} \pm \sqrt{y}
$$


где

$$
x+y=a, \quad 2 \sqrt{x y}=b \sqrt{c}
$$

a) $\sqrt{7+4 \sqrt{3}}$

Пусть $\sqrt{7+4 \sqrt{3}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$, тогда:

$$
\begin{aligned}
a+b & =7, \quad 2 \sqrt{a b}=4 \sqrt{3} \\
\sqrt{a b} & =2 \sqrt{3} \Rightarrow a b=12
\end{aligned}
$$


Решаем систему:

$$
a+b=7, \quad a b=12
$$


Решаем квадратное уравнение:

$$
x^2-7 x+12=0
$$


Корни: $x=3, x=4$, значит:

$$
\sqrt{7+4 \sqrt{3}}=\sqrt{3}+\sqrt{4}=\sqrt{3}+2
$$

6) $\sqrt{6-2 \sqrt{5}}$

$$
\begin{gathered}
a+b=6, \quad 2 \sqrt{a b}=-2 \sqrt{5} \\
\sqrt{a b}=-\sqrt{5} \Rightarrow a b=5
\end{gathered}
$$
    
Решаем уравнение:

$$
x^2-6 x+5=0
$$


Корни: $x=5, x=1$, значит:

$$
\sqrt{6-2 \sqrt{5}}=\sqrt{5}-\sqrt{1}=\sqrt{5}-1
$$

в) $\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$

$$
\begin{gathered}
a+b=5, \quad 2 \sqrt{a b}=2 \sqrt{6} \\
\sqrt{a b}=\sqrt{6} \Rightarrow a b=6
\end{gathered}
$$


Решаем уравнение:

$$
x^2-5 x+6=0
$$


Корни: $x=3, x=2$, значит:

$$
\sqrt{5+2 \sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}
$$

г) $\sqrt{3-\sqrt{8}}$

$$
\begin{gathered}
a+b=3, \quad 2 \sqrt{a b}=-\sqrt{8} \\
\sqrt{a b}=-\frac{\sqrt{8}}{2}=-\sqrt{2} \Rightarrow a b=2
\end{gathered}
$$


Решаем уравнение:

$$
x^2-3 x+2=0
$$


Корни: $x=2, x=1$, значит:

$$
\sqrt{3-\sqrt{8}}=\sqrt{2}-\sqrt{1}=\sqrt{2}-1
$$