Номер 432 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

1. Докажем, что числа $2-\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$ являются взаимно обратными.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Проверим это:

$$
(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2 \cdot 2+2 \cdot \sqrt{3}-\sqrt{3} \cdot 2-\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}
$$


Упростим выражение:

$$
\begin{gathered}
=4+2 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}-3 \\
=4-3 \\
=1
\end{gathered}
$$


Таким образом, произведение чисел $2-\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$ равно 1 , что означает, что они являются взаимно обратными.
2. Докажем, что числа $2 \sqrt{6}-5$ и $\frac{1}{2 \sqrt{6+5}}$ являются противоположными.

Два числа называются противоположными, если их сумма равна 0. Проверим это:

$$
(2 \sqrt{6}-5)+\left(\frac{1}{2 \sqrt{6}+5}\right)
$$


Для упрощения сложим эти два выражения:

$$
=2 \sqrt{6}-5+\frac{1}{2 \sqrt{6}+5}
$$


Чтобы сложить эти два выражения, приведем их к общему знаменателю:

$$
=\frac{(2 \sqrt{6}-5)(2 \sqrt{6}+5)}{2 \sqrt{6}+5}+\frac{1}{2 \sqrt{6}+5}
$$


Упростим числитель первого слагаемого:

$$
(2 \sqrt{6}-5)(2 \sqrt{6}+5)=(2 \sqrt{6})^2-(5)^2=4 \cdot 6-25=24-25=-1
$$


Теперь подставим это обратно в выражение:

$$
=\frac{-1}{2 \sqrt{6}+5}+\frac{1}{2 \sqrt{6}+5}=\frac{-1+1}{2 \sqrt{6}+5}=\frac{0}{2 \sqrt{6}+5}=0
$$


Таким образом, сумма чисел $2 \sqrt{6}-5$ и $\frac{1}{2 \sqrt{6}+5}$ равна 0 , что означает, что они являются противоположными.