Номер 481 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

№481.
Преобразуем подкоренное выражение:

$$
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
$$


Группируем множители:

$$
(n(n+3))((n+1)(n+2))+1
$$


Перепишем:

$$
\left(n^2+3 n\right)\left(n^2+3 n+2\right)+1
$$


Обозначим $k=n^2+3 n$, тогда:

$$
k(k+2)+1=k^2+2 k+1=(k+1)^2
$$


Получаем:

$$
\sqrt{(k+1)^2}=k+1=n^2+3 n+1
$$


Так как $n^2+3 n+1$ - натуральное число при любом натуральном $n$, то выражение под корнем всегда является полным квадратом, а корень натуральным числом.

Ответ: Да, выражение всегда дает натуральное число.