Номер 492 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

492. Докажите, что значение выражения есть число рациональное:
a) $\frac{1}{3 \sqrt{2}-5}-\frac{1}{3 \sqrt{2}+5}$

Дано:

$$
\frac{1}{3 \sqrt{2}-5}-\frac{1}{3 \sqrt{2}+5}
$$


Решение:

$$
\begin{gathered}
\frac{1}{3 \sqrt{2}-5}-\frac{1}{3 \sqrt{2}+5}=\frac{(3 \sqrt{2}+5)-(3 \sqrt{2}-5)}{(3 \sqrt{2}-5)(3 \sqrt{2}+5)} \\
=\frac{3 \sqrt{2}+5-3 \sqrt{2}+5}{(3 \sqrt{2})^2-5^2} \\
=\frac{10}{18-25} \\
=\frac{10}{-7}=-\frac{10}{7}
\end{gathered}
$$


Таким образом, значение выражения $-\frac{10}{7}$ является рациональным числом.
6) $\frac{1}{7+2 \sqrt{6}}+\frac{1}{7-2 \sqrt{6}}$

Дано:

$$
\frac{1}{7+2 \sqrt{6}}+\frac{1}{7-2 \sqrt{6}}
$$


Решение:

$$
\begin{gathered}
\frac{1}{7+2 \sqrt{6}}+\frac{1}{7-2 \sqrt{6}}=\frac{(7-2 \sqrt{6})+(7+2 \sqrt{6})}{(7+2 \sqrt{6})(7-2 \sqrt{6})} \\
=\frac{7-2 \sqrt{6}+7+2 \sqrt{6}}{7^2-(2 \sqrt{6})^2} \\
=\frac{14}{49-24} \\
=\frac{14}{25}
\end{gathered}
$$


Таким образом, значение выражения $\frac{14}{25}$ является рациональным числом.