Номер 495 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

495. Сократите дроби:
a) $\frac{x \sqrt{x}-y \sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$

Дано:

$$
\frac{x \sqrt{x}-y \sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}
$$


Решение:
Представим числитель в виде:

$$
x \sqrt{x}-y \sqrt{y}=(\sqrt{x})^3-(\sqrt{y})^3
$$


Используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)$ :

$$
\begin{aligned}
(\sqrt{x})^3-(\sqrt{y})^3 & =(\sqrt{x}-\sqrt{y})\left((\sqrt{x})^2+\sqrt{x} \sqrt{y}+(\sqrt{y})^2\right) \\
& =(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{x y}+y)
\end{aligned}
$$


Теперь сократим дробь:

$$
\frac{x \sqrt{x}-y \sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{x y}+y)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=x+\sqrt{x y}+y
$$


Таким образом, сокращенная форма дроби равна:

$$
x+\sqrt{x y}+y
$$

6) $\frac{2 \sqrt{2}-x \sqrt{x}}{2+\sqrt{2 x}+x}$

6) $\frac{2 \sqrt{2}-x \sqrt{x}}{2+\sqrt{2 x}+x}$

Дано:

$$
\frac{2 \sqrt{2}-x \sqrt{x}}{2+\sqrt{2 x}+x}
$$


Решение:
Представим числитель в виде:

$$
2 \sqrt{2}-x \sqrt{x}=2 \sqrt{2}-(\sqrt{x})^3
$$


Используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)$, где $a=\sqrt[3]{2 \sqrt{2}}$ и $b=\sqrt{x}$ :

$$
2 \sqrt{2}-(\sqrt{x})^3=(\sqrt[3]{2 \sqrt{2}}-\sqrt{x})\left((\sqrt[3]{2 \sqrt{2}})^2+\sqrt[3]{2 \sqrt{2}} \sqrt{x}+(\sqrt{x})^2\right)
$$


Однако, для упрощения можно заметить, что если подставить $x=2$, то выражение упростится:

$$
2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2}=0
$$


Таким образом, сокращенная форма дроби равна:

$$
1-\sqrt{x}
$$