Номер 509 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

Упражнение 509.
Условие: Построить график функции $y=\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}$.

Решение:
1. Определение области определения функции

Функция имеет вид;

$$
y=\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}
$$

- В знаменателе стоит выражение $\sqrt{x}+2$. Для того чтобы корень был определен, необходимо, чтобы подкоренное выражение $x \geq 0$.
- Кроме того, знаменатель не должен равняться нулю. Однако $\sqrt{x}+2>0$ для всех $x \geq 0$, так как $\sqrt{x} \geq 0$ и добавление 2 гарантирует положительность знаменателя.

Таким образом, область определения функции:

$$
D(y)-[0,+\infty)
$$

2. Исследование поведения функции на границах области определения
- При $x-0$ :

$$
y-\frac{0-4}{\sqrt{0}+2}-\frac{-4}{2}=-2
$$


Точка $(0,-2)$ принадлежит графику.
- При $x \rightarrow+\infty$ :

Разделим числитель и знаменатель на $\sqrt{x}$ :

$$
y=\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x} \cdot\left(\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x}}\right)}{\sqrt{x} \cdot\left(1+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}-\frac{\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x}}}{1+\frac{2}{\sqrt{x}}}
$$


При $x \rightarrow+\infty$ :

$$
\frac{4}{\sqrt{x}} \rightarrow 0 \quad \text { и } \quad \frac{2}{\sqrt{x}} \rightarrow 0
$$


Поэтому:

$$
y \rightarrow \frac{\sqrt{x}}{1}-\sqrt{x}
$$


Это означает, что при $x \rightarrow+\infty$ функция асимптотически приближается к прямой $y-\sqrt{x}$.

3. Нулевые точки функции

Нулевые точки находятся из уравнения:

$$
y-0 \longrightarrow \frac{x-4}{\sqrt{x}+2}-0
$$


Числитель должен быть равен нулю:

$$
x-4-0 \Longrightarrow x-4
$$


Проверим, что знаменатель при $x=4$ не обращается в ноль:

$$
\sqrt{4}+2-2+2-4 \neq 0
$$


Таким образом, точка $(4,0)$ - это нулевая точка функции.
4. Поведение функции на интервалах
- На интервале $(0,4)$ :

При $x \in(0,4)$, числитель $x-4<0$, а знаменатель $\sqrt{x}+2>0$. Следовательно, $y<0$ на этом интервале.
- На интервале $(4,+\infty)$ :

При $x \in(4,+\infty)$, числитель $x-4>0$, а знаменатель $\sqrt{x}+2>0$. Следовательно, $y>0$ на этом интервале.
5. Особые точки и асимптоты
- Горизонтальная асимптота: Поскольку знаменатель растёт медленнее числителя при $x \rightarrow+\infty$, горизонтальной асимптоты нет.
- Область значений: Функция принимает значения от $-\infty$ до $+\infty$, но с учётом поведения на интервалах, её область значений будет зависеть от анализа конкретных точек.
6. Построение графика

Для построения графика можно рассмотреть несколько ключевых точек:
- $x-0: y--2 \rightarrow$ точка $(0,-2)$.
- $x-4: y-0 \rightarrow$ точка $(4,0)$.
- Дополнительные точки для проверки:
- $x-1: y-\frac{1-4}{\sqrt{1+2}}-\frac{-3}{3}-1 \rightarrow$ точка $(1,-1)$.
- $x-9: y-\frac{9-4}{\sqrt{9+2}}-\frac{5}{3+2}-1 \rightarrow$ точка $(9,1)$.

График функции будет иметь следующие особенности:
- Проходит через точки $(0,-2),(4,0),(1,-1),(9,1)$.
- На интервале $(0,4)$ функция убывает и отрицательна.
- На интервале $(4,+\infty)$ функция возрастает и положительна.
- Асимптотически приближается к прямой $y-\sqrt{x}$ при $x \rightarrow+\infty$.