Номер 101 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

№101. Условие: Докажите, что тождественно равны выражения:
a) $\frac{3}{a^2-3 a}+\frac{a^2}{a-3}$ и $a+3+\frac{9 a+3}{a^2-3 a}$;
6) $\frac{a^3}{a^2-4}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}$ и $a-1$.

Решение:
а) $\frac{3}{a^2-3 a}+\frac{a^2}{a-3}=\frac{3}{a(a-3)}+\frac{a^2}{a-3}=\frac{3+a^2 a}{a(a-3)}=\frac{a^3+3}{a(a-3)}$. Второе выражение: $a+3+\frac{9 a+3}{a^2-3 a}=$ $\frac{a\left(a^2-3 a\right)}{a(a-3)}+\frac{3\left(a^2-3 a\right)}{a(a-3)}+\frac{9 a+3}{a(a-3)}=\frac{a^3-3 a^2+3 a^2-9 a+9 a+3}{a(a-3)}=\frac{a^3+3}{a(a-3)}$. О6е части равны.
6) $\frac{a^3}{a^2-4}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}=\frac{a^3}{(a-2)(a+2)}-\frac{a(a+2)}{(a-2)(a+2)}-\frac{2(a-2)}{(a-2)(a+2)}=\frac{a^3-a^2-2 a-2 a+4}{(a-2)(a+2)}=\frac{a^3-a^2-4 a+4}{(a-2)(a+2)}$.

Числитель: $a^3-a^2-4 a+4=a\left(a^2-a\right)-4(a-1)=(a-1)\left(a^2-4\right)$. Тогда

$$
\frac{a^3-a^2-4 a+4}{(a-2)(a+2)}=\frac{(a-1)(a-2)(a+2)}{(a-2)(a+2)}=a-1
$$


Ответ: Равенство доказано.