Номер 104 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№104. Условие: Докажите тождество$$
\frac{1}{x+n}-\frac{1}{x+n+1}=\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}
$$
Используя это тождество, упростите выражение
$$
\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}
$$
Решение:
Доказательство тождества:
$$
\frac{1}{x+n}-\frac{1}{x+n+1}=\frac{(x+n+1)-(x+n)}{(x+n)(x+n+1)}=\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}
$$
Тождество доказано.
Упрощение выражения:
Применим доказанное тождество к каждому слагаемому:
$$
\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}=\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)+\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)+\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\right) .
$$
Сокращаем последовательные слагаемые:
$$
\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}
$$
Ответ: $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}$.