Номер 104 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

№104. Условие: Докажите тождество

$$
\frac{1}{x+n}-\frac{1}{x+n+1}=\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}
$$


Используя это тождество, упростите выражение

$$
\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}
$$


Решение:
Доказательство тождества:

$$
\frac{1}{x+n}-\frac{1}{x+n+1}=\frac{(x+n+1)-(x+n)}{(x+n)(x+n+1)}=\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}
$$


Тождество доказано.
Упрощение выражения:
Применим доказанное тождество к каждому слагаемому:

$$
\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}=\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)+\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)+\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\right) .
$$


Сокращаем последовательные слагаемые:

$$
\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}
$$


Ответ: $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}$.