Номер 226 ГДЗ алгебра 8 клаcс Макарычев

№226.
Условие: Доказать, что если дробь $\frac{a}{b}$ несократима, то и дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.

Решение:
Дополняющая дробь:

$$
\frac{b-a}{b}
$$


Так как $\frac{a}{b}$ несократима, значит, $\operatorname{gcd}(a, b)=1$. Рассмотрим $\operatorname{gcd}(b-a, b)$ :

$$
\operatorname{gcd}(b-a, b)=\operatorname{gcd}(a, b)=1
$$

(по свойству НОД: $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(b-a, b)$ ).
Значит, дробь $\frac{b-a}{b}$ тоже несократима.
Ответ: Доказано.