Номер 244 ГДЗ алгебра 8 клаcc Макарычев

№244.

Решение:
Рассмотрим первое слагаемое:

$$\frac{2}{mn}\cdot {(\frac{1}{m}-\frac{1}{n})}^2$$


Разность дробей:

$$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{n-m}{mn}$$


Возводим в квадрат:

$${\left(\frac{n-m}{mn}\right)}^2=\frac{(n-m{)}^2}{m^2{n}^2}$$


Умножаем на $\frac{2}{mn}$ :

$$\frac{2(n-m{)}^2}{m^3{n}^3}$$


Теперь рассмотрим второе слагаемое:

$$\frac{m^2+n^2}{(m-n{)}^2}$$


Приведём обе дроби к общему знаменателю $m^3{n}^3(m-n{)}^2$ :

$$\begin{array}{c}\frac{2(n-m{)}^2\left(m^3{n}^3\right)}{m^3{n}^3(m-n{)}^2}-\frac{m^2+n^2}{(m-n{)}^2}\cdot \frac{m^3{n}^3}{m^3{n}^3}\\ =\frac{2(n-m{)}^2-(m^2+n^2)m^3{n}^3}{m^3{n}^3(m-n{)}^2}\end{array}$$

Преобразуем числитель:

$$\begin{array}{rl}& 2(m-n{)}^2-(m^2+n^2)=2(m^2-2mn+n^2)-m^2-n^2\\ & =2m^2-4mn+2n^2-m^2-n^2=m^2-4mn+n^2\\ & =(m-n{)}^2\end{array}$$


Значит, итоговое выражение:

$$\frac{(m-n{)}^2}{(m-n{)}^2}=1$$


Ответ: 1 (не зависит от значений переменных).