Номер 244 ГДЗ алгебра 8 клаcc Макарычев

№244.

Решение:
Рассмотрим первое слагаемое:

$$
\frac{2}{m n} \cdot\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right)^2
$$


Разность дробей:

$$
\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{n-m}{m n}
$$


Возводим в квадрат:

$$
\left(\frac{n-m}{m n}\right)^2=\frac{(n-m)^2}{m^2 n^2}
$$


Умножаем на $\frac{2}{m n}$ :

$$
\frac{2(n-m)^2}{m^3 n^3}
$$


Теперь рассмотрим второе слагаемое:

$$
\frac{m^2+n^2}{(m-n)^2}
$$


Приведём обе дроби к общему знаменателю $m^3 n^3(m-n)^2$ :

$$
\begin{gathered}
\frac{2(n-m)^2\left(m^3 n^3\right)}{m^3 n^3(m-n)^2}-\frac{m^2+n^2}{(m-n)^2} \cdot \frac{m^3 n^3}{m^3 n^3} \\
=\frac{2(n-m)^2-\left(m^2+n^2\right) m^3 n^3}{m^3 n^3(m-n)^2}
\end{gathered}
$$

Преобразуем числитель:

$$
\begin{aligned}
& 2(m-n)^2-\left(m^2+n^2\right)=2\left(m^2-2 m n+n^2\right)-m^2-n^2 \\
&=2 m^2-4 m n+2 n^2-m^2-n^2=m^2-4 m n+n^2 \\
&=(m-n)^2
\end{aligned}
$$


Значит, итоговое выражение:

$$
\frac{(m-n)^2}{(m-n)^2}=1
$$


Ответ: 1 (не зависит от значений переменных).