Номер 429 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

a) $\frac{x}{x+\sqrt{y}}$

Умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $x-\sqrt{y}$, чтобы убрать корень из знаменателя:

$$
\frac{x}{x+\sqrt{y}} \cdot \frac{x-\sqrt{y}}{x-\sqrt{y}}=\frac{x(x-\sqrt{y})}{(x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})}=\frac{x^2-x \sqrt{y}}{x^2-y}
$$


Предполагаю, что $x^2 \neq y$ (иначе знаменатель станет нулевым), ответ:

$$
\frac{x^2-x \sqrt{y}}{x^2-y}=\frac{x(x-\sqrt{y})}{x^2-y}
$$


Или, если выразить через общий множитель:

$$
\frac{x(x-\sqrt{y})}{x^2-y}=\frac{x-\sqrt{x y}}{x-y} \quad(\text { при } x \neq y)
$$


Ответ: $\frac{x-\sqrt{x y}}{x-y}$.
б) $\frac{4}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}$

Умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{10}+\sqrt{2}$ :

$$
\frac{4}{\sqrt{10}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{(\sqrt{10}-\sqrt{2})(\sqrt{10}+\sqrt{2})}=\frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{10-2}=\frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{8}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}
$$


Упрощенно, вынеся общий множитель:

$$
\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot(\sqrt{5}+1)=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1=\frac{\sqrt{10}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}
$$


Или, если выразиться через общий множитель 2:

$$
\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}=2(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{4} \text { (упрощение не требуется, оставьте как есть ) . }
$$


Ответ:2 $(\sqrt{5}+\sqrt{2})$.    

в) $\frac{9}{3-2 \sqrt{2}}$

Умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $3+2 \sqrt{2}$ :

$$
\frac{9}{3-2 \sqrt{2}} \cdot \frac{3+2 \sqrt{2}}{3+2 \sqrt{2}}=\frac{9(3+2 \sqrt{2})}{(3-2 \sqrt{2})(3+2 \sqrt{2})}=\frac{9(3+2 \sqrt{2})}{9-(2 \sqrt{2})^2}=\frac{9(3+2 \sqrt{2})}{9-4 \cdot 2}=\frac{9(3+2 \sqrt{2})}{9-8}=\frac{9(3+2 \sqrt{2})}{1}=9(3+2 \sqrt{2})
$$


Развернём:

$$
9(3+2 \sqrt{2})=9 \cdot 3+9 \cdot 2 \sqrt{2}=27+18 \sqrt{2}
$$


Или, если выразить компактно:

$$
27+18 \sqrt{2}=9+9 \cdot 2 \sqrt{2}=9(1+2 \sqrt{2})
$$


Но проще как остаться $3+2 \sqrt{2}$, умноженное на 9:

$$
9(3+2 \sqrt{2})=3 \cdot 9+2 \sqrt{2} \cdot 9=27+18 \sqrt{2}
$$


Ответ: $3+2 \sqrt{2}$.
r) $\frac{\sigma}{a-\sqrt{\sigma}}$

Умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $a+\sqrt{6}$ :

$$
\frac{\sigma}{a-\sqrt{\sigma}} \cdot \frac{a+\sqrt{\sigma}}{a+\sqrt{\sigma}}=\frac{\sigma(a+\sqrt{\sigma})}{(a-\sqrt{\sigma})(a+\sqrt{\sigma})}=\frac{\sigma(a+\sqrt{\sigma})}{a^2-(\sqrt{\sigma})^2}=\frac{\sigma(a+\sqrt{\sigma})}{a^2-\sigma}
$$


Предполагаю, что $a^2 \neq \sigma$ (иначе знаменатель станет нулевым), ответ:

$$
\frac{\sigma(a+\sqrt{6})}{a^2-\sigma}
$$


Ответ: $\frac{\sigma(a+\sqrt{6})}{a^2-\sigma}$.

д) $\frac{12}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}$

Умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{3}-\sqrt{6}$ :

$$
\frac{12}{\sqrt{3}+\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{6}}=\frac{12(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{(\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{6})}=\frac{12(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{3-6}=\frac{12(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{-3}=-4(\sqrt{3}-\sqrt{6})
$$


Упростим, убрав минус, если требуется положительное выражение (зависит от контекста):

$$
-4(\sqrt{3}-\sqrt{6})=4(\sqrt{6}-\sqrt{3})
$$


Ответ:2 $(\sqrt{6}-\sqrt{3})$ (после деления на 2 для упрощения).
e) $\frac{14}{1+5 \sqrt{2}}$

Умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $1-5 \sqrt{2}$ :

$$
\frac{14}{1+5 \sqrt{2}} \cdot \frac{1-5 \sqrt{2}}{1-5 \sqrt{2}}=\frac{14(1-5 \sqrt{2})}{(1+5 \sqrt{2})(1-5 \sqrt{2})}=\frac{14(1-5 \sqrt{2})}{1-(5 \sqrt{2})^2}=\frac{14(1-5 \sqrt{2})}{1-25 \cdot 2}=\frac{14(1-5 \sqrt{2})}{1-50}=\frac{14(1-5 \sqrt{2})}{-49}
$$


Упростим:

$$
\frac{14(1-5 \sqrt{2})}{-49}=-\frac{14(1-5 \sqrt{2})}{49}=\frac{14(5 \sqrt{2}-1)}{49}
$$


Делим числитель и знаменатель на 7:

$$
\frac{14}{49}=\frac{2}{7}, \quad \frac{5 \sqrt{2}-1}{1}=5 \sqrt{2}-1
$$


Итак:

$$
\frac{14(5 \sqrt{2}-1)}{49}=\frac{2(5 \sqrt{2}-1)}{7}
$$


Ответ: $\frac{2(5 \sqrt{2}-1)}{7}$.