Номер 438 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

№438.

Решение:
Представим подкоренное выражение в виде квадрата:

$$
\sqrt{a+2 \sqrt{b}}=\sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}=\sqrt{x}+\sqrt{y}
$$


где $x+y=a$ и $2 \sqrt{x y}=2 \sqrt{b}$.
a) $\sqrt{11+6 \sqrt{2}}-\sqrt{2}$

Рассмотрим уравнения:

$$
\begin{gathered}
x+y=11, \quad 2 \sqrt{x y}=6 \sqrt{2} \\
\sqrt{x y}=3 \sqrt{2} \Rightarrow x y=18
\end{gathered}
$$


Решаем квадратное уравнение:

$$
t^2-11 t+18=0
$$


Корни: $t_1=9, t_2=2$.

$$
\begin{gathered}
\sqrt{11+6 \sqrt{2}}=\sqrt{9}+\sqrt{2}=3+\sqrt{2} \\
\sqrt{11+6 \sqrt{2}}-\sqrt{2}=3+\sqrt{2}-\sqrt{2}=3
\end{gathered}
$$


Ответ: 3.    

б) $\sqrt{27-5 \sqrt{8}}+\sqrt{2}$

Приведём корень:

$$
\sqrt{8}=2 \sqrt{2}, \quad 5 \sqrt{8}=10 \sqrt{2}
$$


Получаем:

$$
\sqrt{27-10 \sqrt{2}}
$$


Рассмотрим уравнения:

$$
\begin{gathered}
x+y=27, \quad 2 \sqrt{x y}=-10 \sqrt{2} \\
\sqrt{x y}=5 \sqrt{2} \Rightarrow x y=50
\end{gathered}
$$


Решаем квадратное уравнение:

$$
t^2-27 t+50=0
$$


Корни: $t_1=25, t_2=2$.

$$
\begin{aligned}
& \sqrt{27-10 \sqrt{2}}=\sqrt{25}-\sqrt{2}=5-\sqrt{2} \\
& \sqrt{27-5 \sqrt{8}}+\sqrt{2}=5-\sqrt{2}+\sqrt{2}=5
\end{aligned}
$$


Ответ: 5.