Номер 441 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№441.Решение:
Используем формулу:
$$
a^2=(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2=x+y \pm 2 \sqrt{x y}
$$
Если после упрощения исчезает корень, число рациональное, иначе - иррациональное.
a) $\sqrt{13+4 \sqrt{3}}-\sqrt{13-4 \sqrt{3}}$
Возведем в квадрат:
$$
\begin{gathered}
a^2=(\sqrt{13+4 \sqrt{3}}-\sqrt{13-4 \sqrt{3}})^2 \\
a^2=(13+4 \sqrt{3})+(13-4 \sqrt{3})-2 \sqrt{(13+4 \sqrt{3})(13-4 \sqrt{3})} \\
a^2=13+13-2 \sqrt{169-48} \\
a^2=26-2 \sqrt{121} \\
a^2=26-2 \times 11=26-22=4 \\
a=2
\end{gathered}
$$
Число рациональное.
Ответ: рациональное.
б) $\sqrt{19-2 \sqrt{34}}+\sqrt{19+2 \sqrt{34}}$
Возведем в квадрат:
$$
\begin{gathered}
a^2=(\sqrt{19-2 \sqrt{34}}+\sqrt{19+2 \sqrt{34}})^2 \\
a^2=(19-2 \sqrt{34})+(19+2 \sqrt{34})+2 \sqrt{(19-2 \sqrt{34})(19+2 \sqrt{34})} \\
a^2=19+19+2 \sqrt{361-136} \\
a^2=38+2 \sqrt{225} \\
a^2=38+2 \times 15=38+30=68 \\
a=\sqrt{68}=2 \sqrt{17}
\end{gathered}
$$
Число иррациональное.
Ответ: иррациональное.