Номер 444 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

444. Докажите, что верно равенство:
a) $\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$

Рассмотрим левую часть выражения:

$$
\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}
$$


Приведем все радикалы в числовой вид:

$$
\sqrt{24}=2 \sqrt{6}, \quad \sqrt{40}=2 \sqrt{10}, \quad \sqrt{60}=2 \sqrt{15}
$$


Подставим их в исходное выражение:

$$
\sqrt{10+2 \sqrt{6}+2 \sqrt{10}+2 \sqrt{15}}
$$


Попробуем упростить правую часть, возведя $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ в квадрат:

$$
(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=2+3+5+2(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15})
$$


Это дает:

$$
10+2 \sqrt{6}+2 \sqrt{10}+2 \sqrt{15}
$$


Как видим, левая и правая части совпадают, следовательно:

$$
\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}
$$
    
б) $\sqrt{9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}}=1+\sqrt{3}-\sqrt{5}$

Рассмотрим левую часть выражения:

$$
\sqrt{9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}}
$$


Приведем все радикалы в числовой вид:

$$
\sqrt{12}=2 \sqrt{3}, \quad \sqrt{20}=2 \sqrt{5}, \quad \sqrt{60}=2 \sqrt{15}
$$


Подставим их в исходное выражение:

$$
\sqrt{9+2 \sqrt{3}-2 \sqrt{5}-2 \sqrt{15}}
$$


Попробуем упростить правую часть, возведя $1+\sqrt{3}-\sqrt{5}$ в квадрат:

$$
(1+\sqrt{3}-\sqrt{5})^2=1+3+5+2(\sqrt{3}-\sqrt{5})-2 \sqrt{15}
$$


Это дает:

$$
9+2 \sqrt{3}-2 \sqrt{5}-2 \sqrt{15}
$$


Как видим, левая и правая части совпадают, следовательно:

$$
\sqrt{9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}}=1+\sqrt{3}-\sqrt{5}
$$


Ответ:
a) $\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$
б) $\sqrt{9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}}=1+\sqrt{3}-\sqrt{5}$