Номер 445 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

445. Упростите выражение:
a) $\sqrt{\frac{b+1}{2}-\sqrt{b}}-\sqrt{\frac{b+1}{2}+\sqrt{b}}$, где $b \geqslant 1$

Рассмотрим выражение:

$$
\sqrt{\frac{b+1}{2}-\sqrt{b}}-\sqrt{\frac{b+1}{2}+\sqrt{b}}
$$


Предположим, что результат имеет вид $\sqrt{A}-\sqrt{B}$, где $A$ и $B$ будем искать. Для упрощения воспользуемся разностью квадратов. Возведем выражение в квадрат:

$$
\left(\sqrt{\frac{b+1}{2}-\sqrt{b}}-\sqrt{\frac{b+1}{2}+\sqrt{b}}\right)^2=\left(\sqrt{\frac{b+1}{2}-\sqrt{b}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{b+1}{2}+\sqrt{b}}\right)^2-2 \cdot \sqrt{\left(\frac{b+1}{2}-\sqrt{b}\right) \cdot\left(\frac{b+1}{2}+\sqrt{b}\right)}
$$


Используем формулу разности квадратов для последних двух множителей:

$$
\left(\frac{b+1}{2}-\sqrt{b}\right) \cdot\left(\frac{b+1}{2}+\sqrt{b}\right)=\left(\frac{b+1}{2}\right)^2-(\sqrt{b})^2=\frac{(b+1)^2}{4}-b
$$


Теперь упростим:

$$
\frac{(b+1)^2}{4}-b=\frac{b^2+2 b+1}{4}-b=\frac{b^2+2 b+1-4 b}{4}=\frac{b^2-2 b+1}{4}=\frac{(b-1)^2}{4}
$$


Итак, выражение становится:

$$
\left(\sqrt{\frac{b+1}{2}-\sqrt{b}}-\sqrt{\frac{b+1}{2}+\sqrt{b}}\right)^2=\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}-2 \cdot \frac{b-1}{2}=b+1-(b-1)=2
$$


Таким образом, получаем:

$$
\sqrt{\frac{b+1}{2}-\sqrt{b}}-\sqrt{\frac{b+1}{2}+\sqrt{b}}= \pm \sqrt{2}
$$


Так как $b \geqslant 1$, можно выбрать знак минус:

$$
-\sqrt{2}
$$

б) $\sqrt{\frac{c+4}{4}+\sqrt{c}}-\sqrt{\frac{c+4}{4}-\sqrt{c}}$, где $c \geqslant 4$

Рассмотрим выражение:

$$
\sqrt{\frac{c+4}{4}+\sqrt{c}}-\sqrt{\frac{c+4}{4}-\sqrt{c}}
$$


Аналогично первому случаю, возведем выражение в квадрат:

$$
\left(\sqrt{\frac{c+4}{4}+\sqrt{c}}-\sqrt{\frac{c+4}{4}-\sqrt{c}}\right)^2=\left(\sqrt{\frac{c+4}{4}+\sqrt{c}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{c+4}{4}-\sqrt{c}}\right)^2-2 \cdot \sqrt{\left(\frac{c+4}{4}+\sqrt{c}\right) \cdot\left(\frac{c+4}{4}-\sqrt{c}\right)}
$$


Используем разность квадратов:

$$
\left(\frac{c+4}{4}+\sqrt{c}\right) \cdot\left(\frac{c+4}{4}-\sqrt{c}\right)=\left(\frac{c+4}{4}\right)^2-(\sqrt{c})^2=\frac{(c+4)^2}{16}-c
$$


Упростим это выражение:

$$
\frac{(c+4)^2}{16}-c=\frac{c^2+8 c+16}{16}-c=\frac{c^2+8 c+16-16 c}{16}=\frac{c^2-8 c+16}{16}=\frac{(c-4)^2}{16}
$$


Теперь подставим это в выражение:

$$
\left(\sqrt{\frac{c+4}{4}+\sqrt{c}}-\sqrt{\frac{c+4}{4}-\sqrt{c}}\right)^2=\frac{c+4}{4}+\frac{c+4}{4}-2 \cdot \frac{c-4}{4}=\frac{c+4}{2}-\frac{c-4}{2}=\frac{(c+4)-(c-4)}{2}=\frac{8}{2}=4
$$


Таким образом:

$$
\sqrt{\frac{c+4}{4}+\sqrt{c}}-\sqrt{\frac{c+4}{4}-\sqrt{c}}= \pm 2
$$


Так как $c \geqslant 4$, выбираем знак минус:

$$
-2
$$