Номер 446 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

446. Чсвободитесь от внешнего радикала в выражении:
a) $\sqrt{a+2 \sqrt{a-1}}$, если $a \geqslant 1$

Предположим, что выражение имеет вид $\sqrt{a+2 \sqrt{a-1}}-\sqrt{x}+\sqrt{y}$. Тогда, возведем обе стороны в квадрат:

$$
a+2 \sqrt{a-1}-(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-x+y+2 \sqrt{x y}
$$


Tеперь приравняем выражения:

$$
a-x+y, \quad 2 \sqrt{a-1}-2 \sqrt{x y}
$$


Или:

$$
\sqrt{a-1}-\sqrt{x y}
$$


Из этого следует, что:

$$
x y-a-1
$$


Tenepь решим систему:

$$
x+y-a, \quad x y-a-1
$$


Корни этого квадратного уравнения будут:

$$
\begin{aligned}
& t^2-(x+y) t+x y-0 \\
& t^2-a t+(a-1)-0
\end{aligned}
$$


Решим это уравнение:

$$
t-\frac{a \pm \sqrt{a^2-4(a-1)}}{2}-\frac{a \pm \sqrt{a^2-4 a+4}}{2}-\frac{a \pm \sqrt{(a-2)^2}}{2}
$$


Так как $a \geqslant 1$, то:

$$
t-\frac{a \pm(a-2)}{2}
$$


Таким образом, получаем два корня:

$$
t-\frac{a+(a-2)}{2}-a-1, \quad t-\frac{a-(a-2)}{2}-1
$$


Следовательно, $x-a-1$ и $y-1$. Тогда:

$$
\sqrt{a+2 \sqrt{a-1}}-\sqrt{a-1}+1
$$


Oтвет:

$$
\sqrt{a-1}+1
$$

б) $\sqrt{a+b+1+2 \sqrt{a+b}}-\sqrt{a+b+1-2 \sqrt{a+b}}$, если $a+b \geqslant 1$

Обозначим $x=a+b$. Тогда выражение принимает вид:

$$
\sqrt{x+1+2 \sqrt{x}}-\sqrt{x+1-2 \sqrt{x}}
$$


Предположим, что выражение имеет вид $\sqrt{x+1+2 \sqrt{x}}=\sqrt{p}+\sqrt{q}$ и $\sqrt{x+1-2 \sqrt{x}}=$ $\sqrt{r}+\sqrt{s}$. Возводим обе стороны в квадрат:

$$
\begin{aligned}
& x+1+2 \sqrt{x}=(\sqrt{p}+\sqrt{q})^2=p+q+2 \sqrt{p q} \\
& x+1-2 \sqrt{x}=(\sqrt{r}+\sqrt{s})^2=r+s+2 \sqrt{r s}
\end{aligned}
$$


Вычитаем:

$$
(\sqrt{x+1+2 \sqrt{x}}-\sqrt{x+1-2 \sqrt{x}})^2=(\sqrt{p}+\sqrt{q})^2-(\sqrt{r}+\sqrt{s})^2
$$


Продолжим.