Номер 70 ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

№70.
условие: Представьте дробь $\frac{5 n^2+3 n+6}{n}$ в виде суммы двучлена и дроби.
Выясните, при каких натуральных $n$ данная дробь принимает натуральные значения.

Решение:
Разделим числитель на знаменатель:

$$
\frac{5 n^2+3 n+6}{n}=\frac{5 n^2}{n}+\frac{3 n}{n}+\frac{6}{n}=5 n+3+\frac{6}{n}
$$


Для натуральности значения дроби $\frac{6}{n}$, число $n$ должно быть делителем числа
6. Натуральные делители числа $6: n=1,2,3,6$.

Проверим:
- При $n=1: 5(1)+3+\frac{6}{1}=5+3+6=14$, натуральное число.
- При $n=2: 5(2)+3+\frac{6}{2}=10+3+3=16$, натуральное число.
- При $n=3: 5(3)+3+\frac{6}{3}=15+3+2=20$, натуральное число.
- При $n=6: 5(6)+3+\frac{6}{6}=30+3+1=34$, натуральное число.

Ответ:

$$
\frac{5 n^2+3 n+6}{n}=5 n+3+\frac{6}{n} .
$$


Дробь принимает натуральные значения при $n=1,2,3,6$.